计算机的原理是图灵机吗，那图灵机的数学原理是什么？

如果说计算机是图灵机演变的，那么图灵机的设计理念是什么？

从百科查到：
所谓的图灵机就是指一个抽象的机器，它有一条无限长的纸带，纸带分成了一个一个的小方格，每个方格有不同的颜色。有一个机器头在纸带上移来移去。机器头有一组内部状态，还有一些固定的程序。在每个时刻，机器头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。

初看好像也没什么，但这样的图灵模型一定是经过理论证明过可行的，那么它的理论依据是什么？
为什么这么搞。它解决的是什么问题，它有什么局限？