闭区间连续函数有界的证明过程中已经找到了矛盾的区间 U(c,η)，为什么后续还要找闭区间[am,bm]?

以下截图出自《数学分析新讲》第一册 P114 。问题在截图下方

证明过程中通过不断缩小无界闭区间套，已经导出了在 U(c,η)内有界了。而 U(c,η)又是包含在不断缩小的闭区间套[an,bn]中，自然包括在区间[a,b]内的。那么此时已经出现了矛盾。因此连续函数在区间[a,b]就不可能无界了。

后面为什么还要进一步在 U(c,η)内寻找闭区间套[am,bm]来证明矛盾呢？

此外，如果我用上面的证明逻辑来证明连续函数在开区间(a,b)有界，会在哪一步失败呢？（我知道这个命题不成立，因为 y=1/x 可以证否该命题。但是我想通过该命题进一步理解书中证明方法！）

请不要提供 gpt 的回答，十分感谢！

Rang666

2 天前

你这只是证了 u 在 ab 区间内，不代表有一个更小的 ab 区间能嵌在 u 内，还有就是你能证明无限多个 u 一定能覆盖住最大的 ab 区间吗

对你后面给的那个你 u 有界也没法覆盖到 0 不是

huzhikuizainali

2 天前

@Rang666 U 是层层缩小的闭区间套筛选出来的“无界”区间，在 U(c,η)属于[a,b]，同时 U(c,η)既有界又无界已经足够到处矛盾了吧？

我不太明白你说的“不代表有一个更小的 ab 区间能嵌在 u 内”的意思。----为什么要找一个更小的 ab 区间嵌在 u 内？这么做的目的是什么？

还有，似乎不需要“证明无限多个 u 一定能覆盖住最大的 ab 区间”，因为哪些被筛选掉的区间，已经是有界区间了！因此才被筛选掉

“u 有界也没法覆盖到 0 不是”。我不明白覆盖到 0 是什么意思？为什么要覆盖到 0 ？

Rang666

2 天前

@huzhikuizainali 筛选掉的不一定是有界的，至少有一个是无界的（证明第 4 行）

U 是有界的不能证明 U 外面就是无界或有界的，只能证明 U 内部肯定是有界的，所以必须要有一个更小的区间在 U 里面达成矛盾，前面的证明只是说有这么一个 U 存在，但是不能说明 ab 能精确到 U 内部，所以要构建出来能达到 U 内部的

U 覆盖到 0 那块是说你在 1/x 那个，U 永远有界，但是要在连续的闭区间内，0 不可能在 U 里面，你那个开区间就有可能是无界的，因为不连续了或者没定义了，没法说 U(0,delta)是有界的

huzhikuizainali

2 天前

@Rang666 谢谢你的回复

筛选掉的不一定是有界的，至少有一个是无界的（证明第 4 行） U 是有界的不能证明 U 外面就是无界或有界的，----------同意你的说法。可以套用以上证明逻辑对每个闭区间套的“分支”进行证明。最终可以证明点 c1 ，c2 c3…………的邻域内都是有界的。最终证明[a,b]都是有界的。

只能证明 U 内部肯定是有界的，所以必须要有一个更小的区间在 U 里面达成矛盾，前面的证明只是说有这么一个 U 存在，但是不能说明 ab 能精确到 U 内部，所以要构建出来能达到 U 内部的-----------这个没理解你因果逻辑。为什么“只能……肯定是有界的” ，导出“所以……达成矛盾”？

Rang666

2 天前

@huzhikuizainali U 是根据上面推出来存在这么一个区间是有界的，但是 U 在 ab 里面，假设是 an bn ，你不能保证[an bn]/U 是有界的，就还没达成矛盾，但是如果有这么一个[am bm]在 U 里面，然后根据构建[am bm]是无界的，但是 U 又是有界的，就达成矛盾了

lance6716

2 天前

个人感觉你对这里的疑惑，跟 https://tanronggui.xyz/t/1103316?p=1#reply6 是一样的。你不理解的点就是截图的第一段，局部性质 vs 整体性质。截图中的证明用到了邻域连续和有界，是一个局部性质。要证的有界是整体性质。从整体到局部的过渡可以使用区间套。

lance6716

2 天前

> U 是层层缩小的闭区间套筛选出来的“无界”区间，在 U(c,η)属于[a,b]，同时 U(c,η)既有界又无界已经足够到处矛盾了吧？

邻域 U 是从点 C 得到的，跟区间 ab 没有直接关系。截图中的取 m 是一种让它们建立联系的办法。先建立联系，才能发现矛盾

zizon

2 天前

1. c 连续推出 U 有界是根据最开始的命题.
2. 此时只证明了 c 同时是一个有界区间和无界区间的点,并不证明 c yita 属于这个无界集合.

3. 后续的 m 推导是利用这 c 和 yita 这个有界区间内存在前述的一个无界区间. 也就是 f [a_m,b_m] unbounded 的同时,又<=K bounded

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